集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和．求集合A中元素最少有几个．

Question

集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和．求集合A中元素最少有几个．

Answer 1

设A中的数从小到大排列为为1，a₁，a₂，…a_k，100
则a₁=1+1=2；3≤a₂≤4；4≤a₃≤8；5≤a₄≤16；
6≤a₅≤32；7≤a₆≤64；
于是A至少有八个数；
假设A恰好有八个元素，由于a₅+a₆≤96＜100；
故必须有100=a₆+a₆，a₆=50，
又a₄+a₅≤48，同理a₅=25，
但此时a₃+a₄≤24，a₅=2a₄，a₄=12.5矛盾，
故A不可能恰好有八个元素，
因此A至少有九个元素．
其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100．