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.棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值,则这个定值等于多少?
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.棱长为 的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值,则这个定值等于多少?
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答案和解析
简证如下：设Ｍ为正四面体Ｐ-ＡＢＣ内任一点,Ｍ到面ＡＢＣ,面ＰＡＢ,面ＰＡＣ,面ＰＢＣ的距离分别为ｈ1,ｈ2,ｈ3,ｈ4．由于四个面面积相等,则ＶＰ-ＡＢＣ＝ＶＭ-ＡＢＣ＋ＶＭ-ＰＡＢ＋ＶＭ-ＰＡＣ＋ＶＭ-ＰＢＣ＝（1/3）·Ｓ△ＡＢＣ·（ｈ1＋ｈ2＋ｈ3＋ｈ4）．而Ｓ△ＡＢＣ＝(√3/4)a^2,ＶＰ-ＡＢＣ＝(√2/12)a^3,故ｈ1＋ｈ2＋ｈ3＋ｈ4＝√3/3a（定值）．
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