Sn=1的平方加到n的平方怎么推主要是推理过程不要数学归纳法Sn=1的3次方加到n的3次方怎么推理f（n+1）=f（n）*（1+2的n次方之n）f（1）=1求f（n）

Question

Sn=1的平方加到n的平方 怎么推主要是推理过程 不要数学归纳法
Sn=1的3次方加到n的3次方 怎么推理
f（n+1）=f（n）*（1+2的n次方之n）f（1）=1 求f（n）

Answer 1

n n n n
n^4=∑ [k^4-(k-1)^4]=4∑k^3-6∑k^2+4∑k-n
k=1 k=1 k=1 k=1
n
可得∑k^3=[n(n+1)/2]^2
k=1
注意∑是求和的意思
附：
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
附：
设S=1^2+2^2+.+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+.+n] +n
所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)