我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任

Question

我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，求图中四分之一圆柱体BB₁C₁-AA₁D₁和四分之一圆柱体AA₁B₁-DD₁C₁公共部分的体积V，若图中正方体的棱长为2，则V=（　　）  
（在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S₁，截得正方体所得面积为S₂，截得锥体所得面积为S₃，S1=R2-h2，S2=R2⇒S₂-S₁=S₃）

A.

(16)/(3)

B.

(8)/(3)

C. 8

D.

(8π)/(3)

Answer 1

在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，
记截得两圆柱体公共部分所得面积为S₁，截得正方体所得面积为S₂，
截得锥体所得面积为S₃，
可得S1=R2-h2，S2=R2⇒S₂-S₁=S₃，
由S₃=h²，可得

∫

2 0

h²dh=(1)/(3)h³|

2

0

=(8)/(3)．
则则V=8-(8)/(3)=(16)/(3)．
故选：A．