（2014•镇海区模拟）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（三角形内切圆的圆心）．现在规定：如果四边形的四个角的角平分线交于一点，我们把这个点也

Question

（2014•镇海区模拟）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（三角形内切圆的圆心）．现在规定：如果四边形的四个角的角平分线交于一点，我们把这个点也成为“四边形的内心”．

（1）试举出一个有内心的四边形．
（2）如图1，已知点O是四边形ABCD的内心，求证：AB+CD=AD+BC．
（3）如图2，Rt△ABC中，∠C=90°．O是△ABC的内心．若直线DE截边AC、BC于点D、E，且O仍然是四边形ABED的内心．这样的直线DE可画多少条？请在图2中画出一条符合条件的直线DE，并简单说明作法．
（4）问题（3）中，若AC=3，BC=4，满足条件的一条直线DE∥AB，求DE的长．

Answer 1

（1）菱形；
（2）作OE⊥AD与E，OF⊥AB与F，CG⊥BC与G，OH⊥CD与H，

∵∠AEO=∠AFO=90°
∴O是四边形ABCD的内心
∴∠EAO=∠FAO
在Rt△AEO和Rt△AFO中，

AO＝AO

OE＝OF

∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL）
∴AE=AF，
同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，
∴AE+DEBG+CG=AF+BF+CH+DH
即：AD+BC=AB+CD；
（3）有无数条
作△ABC的内切圆圆O，切AC、BC于M、N，在弧MN上取一点F，作过F点作圆O的切线，交AB于E，交AC于D，沿DE剪裁，

（4）作CG⊥AB与点G，

由勾股定理得：AB=√(AC2+BC2)＝√(32+42)＝5
∴CG＝(AC•BC)/(AB)＝(3×4)/(5)=2.4
设△ABC的内切圆的半径为r，则r=(1)/(2)(AC+BC−AB)＝(1)/(2)(3+4−5)=1
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴(DE)/(AB)＝(CG−2r)/(CG)∴(DE)/(5)＝(2.4−2)/(2.4)
∴DE＝(5)/(6)．