(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分8分.（理）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数

Question

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（理）对于数列 ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数 ,公比为正整数 的无穷等比数列 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项 .
(1) 若 成等比数列,求 之间满足的等量关系；
(2) 他猜想：“在上述数列 中存在一个子数列 是等差数列”，为此，他研究了 与 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
(3) 他又想：在首项为正整数 ,公差为正整数 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.

Answer 1

(1)  ；(2)不成立；(3) 对于首项为正整数 ，公差为正整数3 的无穷等差数列 ，总可以找到一个无穷子数列 ,使得 是一个等比数列.

试题分析：(1)由已知可得： ,      1分
则 ,即有 ,        3分
，化简可得. .      4分
(2) ,又 ,
故 ,   6分
由于 是正整数，且 ，则 ,
又 是满足 的正整数，则 ,
,
所以，0 >1  ,从而上述猜想不成立.         10分
(3)命题:对于首项为正整数 ，公差为正整数3 的无穷等差数列 ，总可以找到一个无穷子数列 ,使得 是一个等比数列.   13分
此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一: 只要证明对任意正整数n, 都在数列{a _n }中.因为b _n =a(1+d) ⁿ =a(1+ d+ d ² +…+ d ⁿ )=a(Md+1)，这里M= + d+…+

作业帮用户 2017-11-13 举报

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