甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

Question

甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为(1)/(2)，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	(1)/(4)	a	b	(1)/(24)

（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的数学期望．

Answer 1

设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，
由题意知，P(A)＝(1)/(2)，P(B)＝m，P(C)＝n．
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是1−P(ξ＝0)＝1−(1)/(4)＝(3)/(4)．
（2）由题意知P(ξ＝0)＝P(

.

A

.

B

.

C

)＝(1)/(2)(1−m)(1−n)＝(1)/(4)，
           P(ξ＝3)＝P(ABC)＝(1)/(2)mn＝(1)/(24)，
整理得  mn=(1)/(12)，m+n＝(7)/(12)．
由m＞n，解得m＝(1)/(3)，n＝(1)/(4)．
（3）由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=(1)/(2)(1−m)(1−n)+(1)/(2)m(1−n)+(1)/(2)(1−m)n＝(11)/(24)，
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=(1)/(4)，
∴ξ的数学期望为Eξ=0×(1)/(4)+1×(11)/(24)+2×(1)/(4)+3×(1)/(24)=(13)/(12)．