（16分）如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径R=2π(1)m，两轮轴心相距L=3.75m，A、B分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。一个质量为0.1k

Question

（16分）如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径 R = 2π ( 1 ) m，两轮轴心相距 L =3.75m， A 、 B 分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为 μ = 6 ( 3 ) 。 g 取10m/s ² 。

（1）当传送带沿逆时针方向以 =3m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在 A 点后，它运动至 B 点需多长时间？（计算中可取≈16，≈20）

（2）小物块相对于传送带运动时，会在传送带上留下痕迹。当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小物块无初速地放在 A 点，运动至 B 点飞出。要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度 至少多大？

Answer 1

（1）1.2s （2）12.25m/s

解析:

（1）当小物块速度小于3m/s时，小物块受到竖直向下、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a ₁ ，根据牛顿第二定律

mgsin30° + μmgcos30°=ma ₁  ①      ………………… 2分

解得 a ₁ = 7.5m/s ²

当小物块速度等于3m/s时，设小物块对地位移为L ₁ ，用时为t ₁ ，根据匀加速直线运动规律

  ②  …………………  1分

       ③…………………1分

解得 t ₁ = 0.4 s   L ₁ = 0.6 m

由于L ₁ ＜L 且μ＜tan30°，当小物块速度大于3m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，设加速度为a ₂ ，用时为t ₂ ，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律

mgsin30°－μmgcos30°=ma ₂   ④  …………………2分

解得  a ₂ = 2.5m/s ²

L－L ₁ = v ₁ t ₂ + 2 ( 1 ) a ₂ t ₂ ²      ⑤   …………………1分

解得 t ₂ = 0.8 s

故小物块由静止出发从A到B所用时间为 t = t ₁ + t ₂ = 1.2 s    ………1分

（2）传送带匀速运动的速度越大，小物块从A点到B点用时越短，当传送带速度等于某一值v′ 时，小物块将从A点一直以加速度a ₁ 做匀加速直线运动到B点，所用时间最短，设用时t ₀ ，即

L = 2 ( 1 ) a ₁ t ₀ ²       ⑥…………………1分

解得t ₀ = 1s

传送带的速度继续增大，小物块从A到B的时间保持t ₀ 不变，而小物块和传送带之间的相对路程继续增大，小物块在传送带上留下的痕迹也继续增大；当痕迹长度等于传送带周长时，痕迹为最长S _max 。   …………………2分

设此时传送带速度为v ₂ ，则

S _max = 2L + 2πR     ⑦ …………………1分

S _max = v ₂ t ₀ －L       ⑧  …………………2分

联立⑥⑦⑧解得 v ₂ = 12.25m/s   ………………… 2分