如图所示，甲、乙两传送带倾斜放置，与水平方向夹角均为37°，传送带乙长为4m，传送带甲比乙长0.45m，两传送带均以3m/s的速度逆时针匀速运动，可视为质点的物块A从传送带甲的顶端由静止

Question

如图所示，甲、乙两传送带倾斜放置，与水平方向夹角均为37°，传送带乙长为4m，传送带甲比乙长0.45m，两传送带均以3m/s的速度逆时针匀速运动，可视为质点的物块A从传送带甲的顶端由静止释放，可视为质点的物块B由传送带乙的顶端以3m/s的初速度沿传送带下滑，两物块质量相等，与传送带间的动摩擦因数均为0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间；
（2）物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比．

Answer 1

（1）A开始向下做匀加速直线运动的加速度a1=(mgsin37°+μmgcos37°)/(m)=gsin37°+μgcos37°=6+0.5×8m/s²=10m/s²，
A速度达到传送带速度经历的时间t1=(v)/(a1)=(3)/(10)s=0.3s，
速度达到传送带速度的位移x1=(v2)/(2a1)=(9)/(2×10)m=0.45m，
由于物块重力沿斜面方向的分力大于最大静摩擦力，则物块与传送带不能保持相对静止，物块继续向下做匀加速直线运动，
加速度大小a2=(mgsin37°-μmgcos37°)/(m)=gsin37°-μgcos37°=6-4m/s²=2m/s²，
根据x2=vt2+(1)/(2)a2t22得，代入数据解得t₂=1s，
则物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间t=t₁+t₂=0.3+1s=1.3s．
（2）物块A在速度与传送带速度相等前，相对传送带向后滑，△x₁=vt₁-x₁=3×0.3-0.45m=0.45m，
速度相等后，物块A相对传送带向前滑，△x₂=x₂-vt₂=4-3×1m=1m，
综上可知，物块A在传送带上留下的划痕△x=△x₂=1m．
物块B沿传送带向下做加速度a=2m/s²的匀加速直线运动，根据x=vt+(1)/(2)at2得，代入数据解得t=1s，
物块相对传送带向下滑的位移△x′=x-vt=4-3×1=1m，
物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比为1：1．
答：（1）物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间为1.3s；
（2）物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比为1：1．