设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度（如图）．

Question

设凸四边形O₁O₂O₃O₄的周长为l，以顶点O₁，O₂，O₃，O₄为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度（如图）．

Answer 1

（1）先解一个特例（如图）．设只有两个圆轮⊙O₁，⊙O₂，2|O₁O₂|=l'．
显然，带动两轮转动的皮带长度为
s=l'+2πR．


（2）再回到原题，我们猜想：
s=l+2πR．
以下证实这个猜想是正确的．
为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为

A1A8

，

A2A3

，

A4A5

，

A6A7

由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．
事实上，引O₁A'₃∥O₂A₃，由于O₁A₁∥O₂A₂，所以∠A₁O₁A'=∠A₂O₂A₃，∴

A1A3′ 

=

A2A3

．同理，
引O₁A′₆∥O₄A₆，则

A8A6′ 

=

A7A6

．又由于∥O₂A₃，O₂A₃∥O₁A₃′∴O₃A₄∥O₁A₃′．同理，O₃A₅∥O₁A′，∴∠A₄O₃A₅=∠A′₃O₁A′₆，∴

A4A5

=

A′3A′6

∴这四段弧恰好组成一个以O₁为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O₁O₂=A₁A₂，O₂O₃=A₃A₄，O₃O₄=A₅A₆，O₁O₄=A₇A₈，所以
l=A₁A₂+A₃A₄+A₅A₆+A₇A₈．
所以，所求皮带长为s=l+2πR．