蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律

Question

蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．

（1）试给出f（4），f（5）的值，并求f（n）的表达式（不要求证明）；
（2）证明：(1)/(f(1))+(1)/(f(2))+(1)/(f(3))+…+(1)/(f(n))＜(4)/(3)．

Answer 1

（1）f（4）=37，f（5）=61．
由于f（2）-f（1）=7-1=6，
f（3）-f（2）=19-7=2×6，
f（4）-f（3）=37-19=3×6，
f（5）-f（4）=61-37=4×6，
因此，当n≥2时，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n²-3n+1．
又f（1）=1=3×1²-3×1+1，所以f（n）=3n²-3n+1．
（2）当k≥2时，(1)/(f(k))＝(1)/(3k2−3k+1)＜(1)/(3k2−3k)＝(1)/(3)((1)/(k−1)−(1)/(k))．
所以(1)/(f(1))+(1)/(f(2))+(1)/(f(3))++(1)/(f(n))＜1+(1)/(3)[(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))++((1)/(n−1)−(1)/(n))=1+(1)/(3)(1−(1)/(n))＜1+(1)/(3)＝(4)/(3)．