数学题,80分,自认高手来.设X,Y均服从N（0,1）且相互独立,记Z=（X,Y）,证明Z^2~x^2(1).

Question

数学题,80分,自认高手来.
设X,Y均服从N（0,1）且相互独立,记Z=（X,Y）,证明Z^2~x^2(1) .

Answer 1

能证明：
左端=(x-xy^2-xz^2+xy^2z^2)+(y-yx^2-yz^2+yz^2x^2)+(z-zx^2-zy^2+zx^2y^2)
=(x+y+z)-(xy^2+xz^2+yz^2+yx^2+zx^2+zy^2)+xyz(yz+zx+xy)
=xyz-(xy^2+xz^2+yz^2+yx^2+zx^2+zy^2)+(x+y+z)(yz+zx+xy)
=xyz-(xy^2+xz^2+yz^2+yx^2+zx^2+zy^2)+(xyz+zx^2+yx^2+zy^2+xyz+xy^2+yz^2+xz^2+xyz)
=4xyz.