已知∠MON，OA平分∠MON．（1）在图1中，若∠MON=120°，∠ABO=∠ACO=90°，求证：OB+OC=OA；（2）在图2中，若∠MON=120°，∠ABO+∠ACO=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不

Question

已知∠MON，OA平分∠MON．
（1）在图1中，若∠MON=120°，∠ABO=∠ACO=90°，求证：OB+OC=OA；
（2）在图2中，若∠MON=120°，∠ABO+∠ACO=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中，若∠MON=120°，∠ABC=60°，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）∵∠MON=120°，OA平分∠MON，AB⊥OM，AC⊥ON，
∴∠AOM=∠AON=60°，AB=AC，
在Rt△AOB和Rt△AOC中，∠CAO=∠BAO=30°，
∴OB=OC=(1)/(2)OA，
则OB+OC=OA；

（2）过A作AD⊥OM，AE⊥ON，
∵OA平分∠MON，∠MON=120°，
∴AD=AE，∠AOM=∠AON=60°，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，∠DAO=∠EAO=30°，
∴OD=OE=(1)/(2)OA，
∴OD+OE=OA，
∵∠ABD+∠ABO=180°，∠ABO+∠ACO=180°，
∴∠ABD=∠ACO，
在△ABD和△ACE中，

∠ADB＝∠AEC＝90°

∠ABD＝∠ACE

AD＝AE

，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE，
则OB+OC=OB+OE+EC=OB+OE+BD=OD+OE=OA；

（3）在OM上取点D，使OD=OA，在AD上取点E，使OB=EA，
∵OA平分∠MON，∠MON=120°，
∴∠MOA=60°，
∴△AOD为正三角形，
∴OD=DA，∠OAD=∠ODA=60°，
∵OB=AE，
∴AD-AE=OD-OB，即DB=DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠AEB=∠BOC=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠EAB+∠EBA=60°，∠EBA+∠OBC=60°，
∴∠EAB=∠OBC，
在△AEB和△BOC中，

∠AEB＝∠BOC

OB＝EA

∠EAB＝∠OBC

，
∴△AEB≌△BOC（ASA），
∴AB=BC，
则△ABC为正三角形．