如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，P，Q分别是边AB，AC上的点．（1）如图1，若∠MPB=∠MQC=90°，证明：MP=MQ；（2）如图2，若∠MPB+∠MQC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，P，Q分别是边AB，AC上的点．
（1）如图1，若∠MPB=∠MQC=90°，证明：MP=MQ；
（2）如图2，若∠MPB+∠MQC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△MBP与△MQC中，

∠B＝∠C

∠MPB＝∠MQC＝90°

MB＝MC

，
∴△MBP≌△MQC，
∴MP=MQ．

（2）若∠MPB+∠MQC=180°，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，连接AM，
∵AB=AC，M是中点，
∴AM平分∠BAC，
又ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME，
∵∠MPB+∠MQC=180°，∠MQC+∠MQA=180°，
∴∠MPB=∠MQA，
在△MEP与△MFQ中，

∠MEP＝∠MFQ＝90°

∠MPE＝∠MQF

ME＝MF

，
∴△MEP≌△MFQ，
∴MQ=MP．