如图甲所示，两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L=1m，导轨平面与水平面的夹角θ=37°角，下端连接阻值R=1Ω的电阻；质量为m=1kg、阻值r=1Ω的匀质金属棒cd放在两导轨上，距离导轨最上

Question

如图甲所示，两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L=1m，导轨平面与水平面的夹角θ=37°角，下端连接阻值R=1Ω的电阻；质量为m=1kg、阻值r=1Ω的匀质金属棒cd放在两导轨上，距离导轨最上端为L₁=1m，棒与导轨垂直并保持良好接触，与导轨间的动摩擦因数u=0.9．整个装置与导轨平面垂直（向上为正）的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示．认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知在0～1.0s内，金属棒cd保持静止，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．

（1）求0～1.0s内通过金属棒cd的电荷量；
（2）求t=1.1s时刻，金属棒cd所受摩擦力的大小和方向；
（3）1.2s后，对金属棒cd施加一沿斜面向上的拉力F，使金属棒cd沿斜面向上做加速度大小a=2m/s²的匀加速运动，请写出拉力F随时间t′（从施加F时开始计时）变化的关系．

Answer 1

（1）在0-1.0s内，金属棒cd上产生的感应电动势为：
E=(△Bs)/(△t)
其中S=L₁L=1×1=1m；
由闭合电路欧姆定律有：
I=(E)/(R+r)
由于在0-1.0s内回路中电流恒定，故电量q=It
其中t=1s；
联立解得：q=1C；
（2）若0-1.1s内金属棒cd保持静止，则在0-1.1s内回路中的电流不变，t=1.1s时，金属棒cd所受安培力F'=B₁IL=0.2×1×1=0.2N；
方向沿导轨向下
又导轨对金属棒cd的最大静摩擦力f’=μmgcos37°=0.9×10×0.8=7.2N；
由于mgsin37°+F'=6.2N<f'，可知假设成立，金属棒仍保持静止
故所求摩擦力为f=mgsin37°+F’=6.2N；方向沿导轨向上；
（2）1.2s后金属棒cd上产生的感应电动势为E'=B₂Lv，其中v=at'
金属棒cd所受安培力的大小为：
F_安=B₂I₂L，其中I₂=(E′)/(R+r)
由牛顿第二定律有：
F-mgsinθ-μmgcosθ-F_安=ma
解得：F=15.2+0.16t’（N）
答：（1）0～1.0s内通过金属棒cd的电荷量为1C；
（2）求t=1.1s时刻，金属棒cd所受摩擦力的大小为6.2N；方向沿导轨向上；
（3）拉力F随时间t′（从施加F时开始计时）变化的关系为F=15.2+0.16t’（N）