将军每天要从马棚M出发,到河OA上的点P或者河OB上的点Q去饮马,再赶到校场N,已知∠MOA=∠NOB将军已经知道怎样选择点P、点Q的位置可以使MP+PN,MQ+QN最小,但他迷惑,无论先到OA还是OB,所走的路程和

Question

将军每天要从马棚M出发,到河OA上的点P或者河OB上的点Q去饮马,再赶到校场N,已知∠MOA=∠NOB
将军已经知道怎样选择点P、点Q的位置可以使MP+PN,MQ+QN最小,但他迷惑,无论先到OA还是OB,所走的路程和的最小值似乎是一样的,即MP+PN=MQ+QN,求分析原因

Answer 1

(要MP+PN最小,作M关于OA的对称点M',连NM'交OA于P,此时NM'=M'P+NP=MP+NP为最小)
下面开始证明MP+PN=MQ+QN.
作M关于OA的对称点M',同理做N',连OM,OM',ON,ON',连M'N交OA于P,MN'交OB于Q.
∵∠MOA=∠NOB,∴∠MOM'=NON',∴∠M'ON=N'OM,又ON=ON',OM=OM'
∴△OM'N≌△OMN',∴M'N=MN' ,∴MP+PN=MQ+QN.