有四个村庄,位于四边形四个顶点,要在四个村庄间修一个水站,向四个村庄送水,最短的路线在四个村庄所在四边形对角线的交点上.问根据什么道理?

Question

有四个村庄,位于四边形四个顶点,要在四个村庄间修一个水站,向四个村庄送水,最短的路线在四个村庄所在四边形对角线的交点上.问根据什么道理?

Answer 1

最短的路线在四个村庄所在四边形对角线的交点上,设四边形四个顶点为ABCD
这是因为,对于平面内任意一点P均有PA＋PC≥AC,PB＋PD≥BD
∴PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD
等号成立当且仅当A、P、C共线且B、P、D共线时成立,即P与H时PA＋PC＋PB＋PD有最小值
涉及原理：“两点之间直线最短”