怎么证明：1+x^4>x+x^3能证明吗……原题是：若实数x不等于1，求证3（1+x^2+x^4)>(1+x+x^2)^2然后我推了半天推到了这步不会解了……求帮忙~

Question

怎么证明：1+x^4>x+x^3 能证明吗……
原题是：若实数x不等于1，求证3（1+x^2+x^4)>(1+x+x^2)^2
然后我推了半天推到了这步不会解了……求帮忙~

Answer 1

左边-右边=3（1+x^2+x^4)-（1+x+x^2)^2
=3（1+x^2+x^4)-[1+x^2+x^4+2x+2*（x^2）+2*(x^3)]（展开）
=3+3*（x^2）+3*（x^4）-1-x^2-x^4-2x-2*（x^2）-2*(x^3)（去括号）
=2-2x-2*(x^3)+2*（x^4）(合并同类项)
=2(x^4-x^3-x+1)
=2[x^3(x-1)-(x-1)]
=2（x-1）(x^3-1)
=2（x-1）^2(x^2+x+1)
=2（x-1）^2[（x+1/2）^2+3/4]
当x≠1时,（x-1）^2＞0,（x+1/2）^2+3/4≥3/4＞0,
从而2（x-1）^2[（x+1/2）^2+3/4]＞0,
即左边-右边>0,左边＞右边,得证