设函数f(x)=x^2+px+q(p,q属于R)集合A={x|x=f(x)}集合B={x|x=f[f(x)]（1）判断A包含于B是否正确,并说明理由（2）若A中仅有一个元素,判断A与B的关系,并证明

Question

设函数f(x)=x^2+px+q(p,q属于R)集合A={x|x=f(x)}集合B={x|x=f[f(x)]（1）判断A包含于B是否正确,并说明理由（2）若A中仅有一个元素,判断A与B的关系,并证明

Answer 1

1,
正确
A中元素满足x=f(x),则f[f(x)]=f(x)=x
所以,A中元素满足x=f[f(x)]
所以A包含于B
2,
集合A=集合B
若A中仅有一个元素x^2+（p-1）x+q=0 则q=（p-1)^2/4
集合B={x|x=f[f(x)]
f[f(x)]=f(x)^2+pf(x)+q=x
f(x)^2+pf(x)+q-x=0
f(x)^2+pf(x)+（p-1)^2/4-x=[f(x)+（p-1)/2]^2+f(x)-x=[f(x)+（p-1)/2]^2+x^2+(p-1)x+（p-1)^2/4=[f(x)+（p-1)/2]^2+[x+(p-1)/2]^2=0
则[f(x)+（p-1)/2]^2=0 f(x)=(1-p)/2
[x+(p-1)/2]^2=0 x=(1-p)/2
只能f（x）=x 集合B也满足x=f(x）集合B=集合A