已知函数f（x）=2-x（4x-m）是奇函数，g（x）=lg（10x+1）+nx是偶函数．（I）求m+n的值；（Ⅱ）设h（x）=f(x)+1，x≤0g(x)+12x，x>0，试求h（x）在x∈[-2，1]时的最大值．

Question

已知函数f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函数，g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函数．
（I）求m+n的值；
（Ⅱ）设h（x）=

f(x)+1，x≤0

g(x)+(1)/(2)x，x>0

，试求h（x）在x∈[-2，1]时的最大值．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函数且定义域为R，
∴f（0）=1-m=0，解得m=1
∵g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函数．
∴g（-x）=lg（10^-x+1）-nx=lg(10x+1)/(10x)-nx=lg（10^x+1）-x-nx=lg（10^x+1）-（n+1）x
=g（x）=lg（10^x+1）+nx，
∴n=-（n+1），∴n=-(1)/(2)，
∴m+n=(1)/(2)
（Ⅱ）-2≤x≤0，h（x）=f（x）+1=2^-x（4^x-1）+1=2^x-2^-x+1，单调递增，最大值为1；
0<x≤1，h（x）=g（x）+(1)/(2)x=lg（10^x+1），单调递增，最大值为lg11，
∴h（x）在x∈[-2，1]时的最大值为lg11．