已知函数f(x)＝1−xax+lnx（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞12+13+14+…+1n．

Question

已知函数f(x)＝(1−x)/(ax)+lnx（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)+…+(1)/(n)．

Answer 1

（1）∵f(x)＝(1−x)/(ax)+lnx∴f'（x）=(ax−1)/(ax2)（a＞0）…1
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f'（x）=(ax−1)/(ax2)≥0对x∈[1，+∞）恒成立
ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥(1)/(x)对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1  （4分）
（2）∵a≠0f′(x)＝(a(x−(1)/(a)))/(ax2)＝(x−(1)/(a))/(x2)，x＞0，
当a＜0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞）…5
当a＞0时，f′(x)＞0⇒x＞(1)/(a)，f′(x)＜0⇒x＜(1)/(a)
∴f（x）的增区间为((1)/(a)，+∞)，减区间为（0，(1)/(a)）…6
（3）当a=1时，f（x）=(1−x)/(x)+lnx，f'（x）=(x−1)/(x2)，故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=(n)/(n−1)，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8
∴f（(n)/(n−1)）=(1−(n)/(n−1))/((n)/(n−1))+ln(n)/(n−1)=-(1)/(n)+ln(n)/(n−1)＞0，即ln(n)/(n−1)＞(1)/(n)
∴lnn＞ln(2)/(1)+ln(3)/(2)+…+ln(n)/(n−1)＞(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)+…+(1)/(n)