某通信器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单

Question

某通信器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系y＝(1)/(20k)x+b，其中整数k使式子√(k+1)+√(1−k)有意义．经测算，销售单价60元时，年销售量为50000件．
（1）求出这个函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

Answer 1

（1）由

k+1≥0

1−k≥0

k≥−1

k≤1

∴-1≤k≤1
∴k=1或k=-1（1分）
当k=1时，(1)/(20k)＞0，年销售量随售价x增大而增大，不合．
∴-1，y=-(1)/(20)x+b（2分）
把x=60，y=50000件=5万件代入，5=-(1)/(20)×60+b，b=8
∴y=-(1)/(20)x+8（3分）

（2）z=yx-40y-120=（-(1)/(20)x+8）（x-40）-120=-(1)/(20)x²+10x-440=-(1)/(20)（x-100）²+60（4分）
∴当x=100元时，年获利最大值为60万元．（5分）

（3）令z=40，得40=-(1)/(20)x²+10x-440
整理得x²-200x+9600=0（6分）
解得：x₁=80，x₂=120．（7分）

由图象可知，（画图并标上数据1分）要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间，（说明此点1分）又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，则销售单价应定为80元．（说明此点1分）（10分）