已知二次函数y=ax2-2bx+c图象如图．（1）判定a、c的符号为a0，c0，若b=2a，则二次函数的对称轴为直线x=；（2）当a=1时，二次函数图象交x正半轴交于A、B（A在B的左侧），交y轴于点

Question

已知二次函数y=ax²-2bx+c图象如图．
（1）判定a、c的符号为a______0，c______0，若b=2a，则二次函数的对称轴为直线x=______；
（2）当a=1时，二次函数图象交x正半轴交于A、B（A在B的左侧），交y轴于点C，顶点为M，若△BOC、△ABM均为等腰直角三角形，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，点N为直线y=1上在y轴左侧的一个动点，若以N为圆心，NO为半径的⊙N恰好与直线AC相切，求N的坐标．

Answer 1

（1）由抛物线开口向上得a＞0，
令x=0，y=c，从函数y=ax²-2bx+c图象得出c＞0，
当b=2a，二次函数y=ax²-4ax+c=a（x-2）²+c-4a，所以二次函数的对称轴为直线x=2，
故答案为：＞，＞，2．
（2）∵a=1，
∴二次函数y=ax²-2bx+c解析式为：y=x²-2bx+c，
令y=0，得x²-2bx+c=0，解得x=b±√(b2−c)，
∴A（b-√(b2−c)，0），B（b+√(b2−c)，0），
顶点为M（b，c-b²），
∵△BOC为等腰直角三角形，
∴c=b+√(b2−c)，即c=2b-1，
如图1，作y=x²-2bx+c的对称轴，交x轴于点F，

∵△ABM为等腰直角三角形，
∴△AFM为等腰直角三角形，
∴AF=FM，即√(b2−c)=b²-c，
∴b²-c=0（求出来的b=1，c=1，顶点在x轴上故舍去）或b²-c=1
解方程组

c＝2b−1

b2−c＝1

，得

b＝2

c＝3

或

b＝0

c＝−1

（舍去），
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3．
（3）如图2，点H为切点，AC交y=1于点P，设N的坐标为（a，1），

∵二次函数的解析式为y=x²-4x+3．
∴A（1，0），C（0，3），
设AC的解析式为y=kx+b，
∴y=-3x+3，
当y=1时，代入y=-3x+3，得x=(2)/(3)，
∴P（(2)/(3)，1），
∴NP=(2)/(3)-a，
∵NO为半径，
∴NO=NH=√(a2+1)，
∵∠NPH=∠CMO，∠NHP=∠COM=90°，
∴△NHP∽△COA，
∴(NP)/(AC)=(NH)/(CO)，即((2)/(3)−a)/(√(10))=(√(a2+1))/(3)，
解得a=-6±3√(3)，
∴N₁（-6+3√(3)，1），N₂（-6-3√(3)）．