选修4-1:几何证明选讲如图所示,AB是⊙O的直径,G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点(G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作⊙O的切线,切点为H.
选修4-1:几何证明选讲
如图所示,AB是⊙O的直径,
G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点(
G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延
长线于点F,过G作⊙O的切线,切点为H .
求证:(Ⅰ)C,D,F,E四点共圆;
(Ⅱ)GH2=GE·GF.
(Ⅰ)连接BC.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG,∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC,∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC,∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C,D,F,E四点共圆. …………5分
(Ⅱ)∵GH为⊙O的切线,GCD为割线,
∴GH2=GC·GD.
由C,D,F,E四点共圆,
得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴=
,
即GC·GD=GE·GF,
∴CH2=GE·GF. ………… 10分
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