PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,连接AE,AF与直线PC相交于B,D.求证；AB=DCBC=AD最好有图

Question

PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,连接AE,AF与直线PC相交于B,D.求证；AB=DC BC=AD
最好有图

Answer 1

1：没想出特别好的办法,但因为PC⊥AC
因此可以以C为原点建立如图所示的坐标系
假设园O的半径为1,它的方程是(x-1)^2+y^2=1
点P的坐标为(0,p)
直线PEF的方程是y=kx+p
直线PBOD的方程是y=-p(x-1)
所以只要证明O点是BD的中点即可,这样因为ABCD的对角线相互平分,立即可得四边形ABCD是平行四边形
证明过程如下：
设E(x1,y1),F(x2,y2)
E、F显然满足方程组：
(x-1)^2+y^2=1
y=kx+p
由此得：
x1+x2=2(pk-1)/(1+k^2)
x1x2=(p^2)/(1+k^2)
而B(x3,y3)是AE与直线y=-p(x-1)的交点
所以有：
(x1-x3)/(y1-y3)=(x3-2)/(y3-0)
而y3=-p(x3-1),y1=kx1+p
代入方程解得：
x3=-(2k+p)x1/(p-(p+k)x1)
同理可求得D(x4,y4)的坐标,只要将下标1,3换成2,4即可
x4=-(2k+p)x2/(p-(p+k)x2)
所以经计算可知：
(x3+x4)/2=1
(y3+y4)/2=-p(((x3+x4)/2)-1)=0
因此B(x3,y3)与D(x4,y4)的中点即为点O
命题得证
2：如图PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的弦AE,AF与直线PO相交于B,D.求证AB=DC,BC=AD
分析：
这题确实比较难!要证AB=DC,BC=AD,实际上只要证明四边形ABCD为平行四边形,只需证明OB=OD.而过B,O,D的三直线会于一点A,因此可以添加平行线型相似三角形的组合图形进行证明!即过E作EK//BD交OC于M,交AF于K,证ME=MK,从而得OB=OD!
这里还要用到切割线的另一个性质：圆心,圆外一点,切点,割线上弦的中点这四点共圆的性质!
证明：（证明OB=OD）
过E作EK//BD分别交OC,AF于M,K,取EF的中点H,连结OH,MH,CE.
∵∠PHO=∠PCO=90°,
∴P,C,H,O四点共圆,
∴∠HCM（O）=∠HPO=∠MEH,
∴M,E,C,H四点共圆,
∴∠MHE=∠M（A）CE=∠（A）KFE,
∴MH//KF,∵HE=HF,∴ME=MK,
∵OB/ME=OD/MK=AO/AM,
∴OB=OD.（下略）