过圆外一点P引一条割线与圆交于AB,求证AB为直径是PA^2+PB^2取到最大值

Question

过圆外一点P引一条割线与圆交于AB,求证AB为直径是PA^2+PB^2取到最大值

Answer 1

过P作切线PC切圆于C.
由切割线定理,有：PA×PB＝PC^2.
而PA^2＋PB^2＝（PB－PA）^2＋2PA×PB＝AB^2＋2PC^2.
∵点P是定点,∴PC为定值.
∴要使PA^2＋PB^2取得最大值,就需要AB取得最大值,又直径是最大的弦.
∴当AB为直径时,PA^2＋PB^2能取到最大值.