如图，点A1是面积为3的等边△ABC的两条中线的交点，以BA1为一边，构造等边△BA1C1，称为第一次构造；点A2是△BA1C1的两条中线的交点，再以BA2为一边，构造等边△BA2C2，称为第二次构造；以

Question

如图，点A₁是面积为3的等边△ABC的两条中线的交点，以BA₁为一边，构造等边△BA₁C₁，称为第一次构造；点A₂是△BA₁C₁的两条中线的交点，再以BA₂为一边，构造等边△BA₂C₂，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△B_nA_nC_n的边BC_n与等边△CBA的边AB第一次在同一直线上时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是

(1)/(27)

(1)/(27)

．

Answer 1

设等边△ABC的边长为a，
则等边△ABC的高为(√(3))/(2)a，
∵A₁是两条中线的交点，
∴A₁C=(2)/(3)×(√(3))/(2)a=(√(3))/(3)a，∠ABA₁=30°，
同理可得，每次构造后等边三角形的边长变为原来的(√(3))/(3)倍，
∵第n次构造出的等边△B_nA_nC_n的边BC_n与等边△CBA的边AB第一次在同一直线上时，构造停止，
∴（180°-60°）÷30°=120°÷30°=4，
即4次构造后，构造停止，
∴构造停止时的等边三角形的边长为（(√(3))/(3)）⁴a，
设最后一个三角形的面积为S，
则(S)/(3)=（(((√(3))/(3))4a)/(a)）²，
解得S=

作业帮用户 2017-11-08 举报