已知函数f(x)=xx+2，x∈[3，6]．（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并利用单调性的定义证明；（Ⅱ）求f（x）在[3，6]上的最值．

Question

已知函数 f(x)=(x)/(x+2) ，x∈[3，6]．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并利用单调性的定义证明；  
（Ⅱ）求f（x）在[3，6]上的最值．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）区间[3，6]上单调递增．…（2分）
任取x ₁ ，x ₂ ∈[3，6]，且x ₁ ＜x ₂ ， f( x 1 )-f( x 2 )=(x1)/(x1 +2) -(x2)/(x2 +2) =(2( x1 - x2 ))/(( x1 +2)( x2 +2)) …（5分）
∵3≤x ₁ ＜x ₂ ≤6∴x ₁ -x ₂ ＜0，x ₁ +2＞0，x ₂ +2＞0
∴f（x ₁ ）-f（x ₂ ）＜0，即f（x ₁ ）＜f（x ₂ ）
∴由单调性的定义知，函数f（x）区间[3，6]上单调递增．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）区间[3，6]上单调递增，
∴[f（x）] _min =f（3），[f（x）] _max =f（6）∵ f(3)=(3)/(3+2) =(3)/(5) ， f(6)=(6)/(6+2) =(3)/(4)
∴ [f(x) ] min =(3)/(5) ， [f(x) ] max =(3)/(4) ．…（12分）