曲线x2+y2+6x-8y+1=0，若直线4ax-3by+6=0（a、b∈R）始终平分此曲线的周长，则ab的取值范围是．

Question

曲线x²+y²+6x-8y+1=0，若直线4ax-3by+6=0（a、b∈R）始终平分此曲线的周长，则ab的取值范围是______．

Answer 1

把曲线x²+y²+6x-8y+1=0化为标准方程得：（x+3）²+（y-4）²=24，
得到曲线为圆心（-3，4）的圆，
由题意可知直线过圆心，则把圆心坐标代入直线方程得：
-12a-12b+6=0，解得：a+b=(1)/(2)，
若a＞0，b＞0时，a+b＞2√(ab)，则ab＜((a+b)2)/(4)=(1)/(16)；
若a和b不同时大于0，ab可不须满足此条件，
综上，ab的取值范围是（-∞，(1)/(16)）．
故答案为：（-∞，(1)/(16)）