假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？

Question

假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？

Answer 1

设球员离底线x米时，获得的射门张角为θ（x），则
θ（x）=arctan(10)/(x)-arctan(6)/(x)，x＞0．
因为

lim

x→0+

(arctan(10)/(x)−arctan(6)/(x))=

lim

x→0+

arctan(10)/(x)-

lim

x→0+

arctan(6)/(x)=(π)/(2)−(π)/(2)=0，
故补充定义θ（0）=0，
则θ（x）在[0，+∞）上连续．
因为θ′（x）=(1)/(1+((10)/(x))2)•(−(10)/(x2))-(1)/(1+((6)/(x))2)•(−(6)/(x2))=−(10)/(x2+100)+(6)/(x2+36)=(−4x2+240)/((x2+100)(x2+36))，x＞0，
令θ′（x）=0可得，x=2√(15)，（负根舍去）．
因为当0＜x＜2√(15)时，θ′（x）＞0，
当x＞2

作业帮用户 2017-10-28 举报

问题解析

设球员离底线x米时，获得的射门张角为θ（x），求出其表达式，并求解其最值即可．

名师点评

本题考点：

函数的最大值和最小值；定积分在物理学中的综合应用．

考点点评：

本题考查了将实际问题转化为数学问题的能力以及函数最值的求法，题目难度系数适中，计算量稍大．函数最值的求法是常考知识点，需要熟练掌握．

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