若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时,的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.（1）已知是上的正函数，求的等域区间

Question

若函数 为定义域 上的单调函数,且存在区间 (其中 ,使得当 时, 的取值范围恰为 ,则称函数 是 上的正函数,区间 叫做函数的等域区间.
（1）已知 是 上的正函数，求 的等域区间；
（2）试探求是否存在 ，使得函数 是 上的正函数？若存在，请求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

若函数 为定义域 上的单调函数,且存在区间 (其中 ,使得当 时, 的取值范围恰为 ,则称函数 是 上的正函数,区间 叫做函数的等域区间.
（1）已知 是 上的正函数，求 的等域区间；
（2）试探求是否存在 ，使得函数 是 上的正函数？若存在，请求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.

（1） ；（2）存在，

试题分析：（1）因为 是 上的正函数，根据正函数的定义建立方程组，解之可求出 的等域区间；
（2）根据函数函数 是 上的正函数建立方程组，消去 ，求出 的取值范围，转化成关于 的方程 在 上有实数解进行求解．
试题解析：(1)
(2)假设存在 ，使得函数 是 上的正函数，且此时函数在 上单调递减
存在 使得：  （*）
两式相减得 ，代入上式：
即关于 的方程 在 上有解
方法①参变分离：即
令 ，所以
实数 的取值范围为
方法②实根分布：令 ，即函数的图像在 内与 轴有交点， ，解得
方法③ ：（*）式等价于方程 在

作业帮用户 2017-10-24 举报

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