已知角MPN,AD在 PM上,C,B在PN上,A,B交CD于F.若PF平分角MPN,求证：1/PA+1/PB=1/PC+1/PD

Question

已知角MPN,AD在 PM上,C,B在PN上,A,B交CD于F.若PF平分角MPN,求证：1/PA+1/PB=1/PC+1/PD

Answer 1

△PAB的三边被直线CD所截于C、F、D
由梅涅劳斯定理得:(AD/PD)*(BC/PC)*(FB/FA)=1
因PF平分∠APB
由角平分定理得：FB/FA = PB/PA
以上两式得：AD/PA*PD = BC/PB*PC
即（PD-PA)/PA*PD = (PB-PC)/PB*PC
所以 1/PA - 1/PD = 1/PC - 1/PB
所以1/PA + 1/PB = 1/PC +1/PD
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
梅涅劳斯（Menelaus）定理证明
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG.
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1