设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2A时，恒有F（x1）+f（x2）=2b，则称（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称

Question

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2A时，恒有F（x₁）+f（x₂）=2b，则称（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究函数f（x）=x³+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（-2016）+f（-2015）+f（-2015）+f（-2014）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）=（　　）

A. 0

B. 2016

C. 4032

D. 4033

Answer 1

∵f（x）=x³+sinx+1，
∴f′（x）=3x²-cosx，f''（x）=6x+sinx，
∵f''（0）=0，f（x）+f（-x）=x³+sinx+1-x³-sinx+1=2，
∴函数f（x）=x³+sinx+1的一个对称中心为（0，1），
即当x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=2，
∴f（-2016）+f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）
=2×2016+f（0）
=4033．
故选：D．