若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的

Question

若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形___“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知 O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若 O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知 O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=(1)/(2)OB=3，
∴BH=√(3)OH=3√(3)，
∵BD=2BH=6√(3)，
∴AC=BD=6√(3)，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积=(1)/(2)×6√(3)×6√(3)=54；
（3）OM=(1)/(2)AD．理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中

∠BMO=∠OEA

∠OBM=∠AOE

OB=AO

，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴OM=(1)/(2)AD．