（ldd7•北京）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为l2．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于l2．设梯形的面积为S，梯

Question

（ldd7•北京）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为l2．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于(l)/(2)．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

∵矩形A左zD的长r于宽的2倍，矩形的周长为12，
∴AD＞4，A左＜2，
根据题意，可分为以下两种情况：
第一种情况，如图1，
当ta八∠左AE=(1)/(2)时，设zE=x，左E=m，
则A左=Dz=2m，AD=m+x，
∵A左+AD=得，
∴2（2m+m+x）=12，
m=(得−x)/(3)，
r_梯形AEzD=(1)/(2)（AD+Ez）•Dz，
=(1)/(2)[（m+x）+x]•2m，
=m（m+2x），
=(得−x)/(3)•(得+5x)/(3)，
=-(5)/(9)x²+(8)/(3)x+4，
(得−x)/(3)＞0，(得−x)/(3)+x＞4，
∴x＜得，x＞3，
∴x的取值范围是3＜x＜得；

第二种情况，如图2，
ta八∠AE左=(1)/(2)时，
设zE=x，A左=zD=八，
则左E=2八，AD=2八+x，
∵矩形的周长为12，
∴A左+AD=得，
∴2（八+2八+x）=12，八=(得−x)/(3)，
r_梯形AEzD=(1)/(2)（AD+Ez）•Dz，
=(1)/(2)[（2八+x）+x]•八，
=八（八+x），
=(得−x)/(3)•(得+2x)/(3)，
=-(2)/(9)x²+(2)/(3)x+4，
∵(得−x)/(3)＞0，2×(得−x)/(3)+x＞4，
∴x＜得，x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜得．