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某厂家研发甲、乙两种产品准备试产,经调研,生产甲产品需固定成本100万元,每生产一件产品,成本增加1万元,每件销售价格p(万元/件)与产量x(件)满足关系p=25−18x;乙产品的利润L
题目详情
某厂家研发甲、乙两种产品准备试产,经调研,生产甲产品需固定成本100万元,每生产一件产品,成本增加1万元,每件销售价格p(万元/件)与产量x(件)满足关系p=25−
x;乙产品的利润L(万元)与成本t(万元)的关系为L=
现有资金200万元,所生产的产品都能销售出去,并且甲产品必须生产.
(I)要使甲产品的利润最大,应生产甲产品多少件;
(Ⅱ)若资金全部投入生产,如何分配对甲、乙的投资,能使厂家获得的利润最大?
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(I)要使甲产品的利润最大,应生产甲产品多少件;
(Ⅱ)若资金全部投入生产,如何分配对甲、乙的投资,能使厂家获得的利润最大?
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设f(x)表示生产甲产品x件的利润,则f(x)=px-100-x=(25-
x)x-100-x=−
x2+24x−100=−
(x−96)2+1052,x必须满足
解得0<x≤100.
∴x∈(0,100],因此当x=96时,f(x)取得最大值,f(96)=1052.
(Ⅱ)设200万元资金中的x万元用于生产乙产品,则(200-x)万元用于生产甲产品(至多只生产甲产品200-x-100=100-x件,∵甲产品必须生产,∴0≤x<100).
设g(x)表示厂家获得的利润,则g(x)=
,
①当0≤x≤4时,g(x)单调递增,∴x=4,g(x)取得最大值g(4)=1052;
②当4<x<100时,g(x)=80lnx-
(x−4)2+1052,则g′(x)=
−
(x−4)=
,
令g′(x)=0,解得x=20.
当4<x<20时,g′(x)>0,函数g(x)在区间(4,20)上单调递增;当20<x<100时,g′(x)<0,函数g(x)在区间(4,20)上单调递减.
∴g(x)在x=20取得最大值,且g(20)=80ln20+1020.
∵g(20)-g(4)=80ln20-32>80-32>0,
∴当x=20时,能使厂家获得的利润最大.即把20万元用于生产乙产品,把180万元用于生产甲产品,能使厂家获得最大利润为80ln20+1020万元.
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∴x∈(0,100],因此当x=96时,f(x)取得最大值,f(96)=1052.
(Ⅱ)设200万元资金中的x万元用于生产乙产品,则(200-x)万元用于生产甲产品(至多只生产甲产品200-x-100=100-x件,∵甲产品必须生产,∴0≤x<100).
设g(x)表示厂家获得的利润,则g(x)=
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①当0≤x≤4时,g(x)单调递增,∴x=4,g(x)取得最大值g(4)=1052;
②当4<x<100时,g(x)=80lnx-
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x |
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−(x−20)(x+16) |
4x |
令g′(x)=0,解得x=20.
当4<x<20时,g′(x)>0,函数g(x)在区间(4,20)上单调递增;当20<x<100时,g′(x)<0,函数g(x)在区间(4,20)上单调递减.
∴g(x)在x=20取得最大值,且g(20)=80ln20+1020.
∵g(20)-g(4)=80ln20-32>80-32>0,
∴当x=20时,能使厂家获得的利润最大.即把20万元用于生产乙产品,把180万元用于生产甲产品,能使厂家获得最大利润为80ln20+1020万元.
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