某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3-2x+1，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元

Question

某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3-(2)/(x+1)，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．
（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；
（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×(8+16m)/(m)（万元），
∴利润函数y=m[1.5×(8+16m)/(m)]-（8+16m+x）
=4+8m-x=-[(16)/(x+1)+（x+1）]+29（x≥0）．
（2）因为利润函数y=-[(16)/(x+1)+（x+1）]+29（x≥0），
所以，当x≥0时，(16)/(x+1)+（x+1）≥8，
∴y≤-8+29=21，当且仅当(16)/(x+1)=x+1，即x=3（万元）时，y_max=21（万元）．
所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．