自然数集和偶数集等势,说明自然数集的每个元素可以和偶数集的每个元素可以建立起一一对应的关系.但自然数集减去偶数集后得到奇数集,显然自然数集和偶数集不对等,同样,若A~B,B是A的真

Question

自然数集和偶数集等势,说明自然数集的每个元素可以和偶数集的每个元素可以建立起一一对应的关系.但自然数集减去偶数集后得到奇数集,显然自然数集和偶数集不对等,
同样,若A~B,B是A的真子集,显然（A-B）~(B-B)不成立,但在康托—伯恩斯坦定理的一种证明中用到了这个结论（即A~B,D,则(A-C)~(B-D)）.纠结中,
我能理解自然数集可和偶数集间建立的双射,但建立双射后,怎样理解"若A~B,B是A的真子集，显然（A-B）~(B-B)不成立"?既然可以建立双射,为什么A还存在比B多出来的元素?

Answer 1

你错误地理解了集合与集合对应关系,忘记了对应法则.A为自然数集,B为偶数集,对应法则为2倍,那么就建立了A到B的一个映射关系.并且所有的自然数集都对应到所有的偶数集了.注意这种对应取决于对应法则,不能以集合所含元素个数来定.