10名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结束以后发现,任意5人中有1人胜其余4人,也有1人负于其余5人.求证,这10名选手胜的场次各不相同.准确,如何得出,打错了是1人负于其余4人不是5人

Question

10名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结束以后发现,任意5人中有1人胜其余4人,也有1人负于其余5人.求证,这10名选手胜的场次各不相同.
准确,如何得出,
打错了 是1人负于其余4人 不是5人

Answer 1

这个方法比较绕
不过是对的……
先考虑有没有人全胜
假设一下ABCDEFGHIJ都是人
不妨设A胜场数最多
如果A不是全胜
至少有一败
设输给B
因为A是胜场数最多,所以B也一定输给过别人C
如果C输给A,那么ABCDE五人,必有一个赢过另外四个,非D即E
所以A输两场以上
如果C没有输给A,那一定输给过别人D
如果D输给A,那么ABCDE五人,必有一个赢过另外四个,就是E
所以A输两场以上
如果D没有输给A,那一定输给过别人E
ABCDE五人,必有一个赢过另外四个,就是E
所以A输两场以上
综上所述
A至少输给过两个人BC
因为假设A是第一名,所以每个人至少输给过两个人
现将C排除
在剩余九人中比较胜负关系
A仍然是第一（至少是并列）并且至少输给过一个人B
重复上面的步骤
可以得出A还负于一人D
再将D排除
继续重复
这个步骤可以重复五次
所以A至少输给过
BCDEFG六个人
但是A又是胜率最高的人
这是矛盾的（胜率最高至少要赢五场）
所以假设不成立
A全胜
现将A排除
在剩余9人中选出第一名B用类似A的假设
可以进行四次
的剩余九人胜负关系中
B至少输给5个人
仍然矛盾
故B仅负于A
同样的方法可以推出
C七胜两败(于AB)
D六胜三败(于ABC)
其余六人均败于ABCD
下面把以上的胜败颠倒
可以得到
J全败
I8败1胜（胜J）
H7败2胜（胜IJ）
G6败3胜（胜HIJ）
其余6人均胜此四人
还有EF
他们都输给ABCD
都赢了GHIJ
无论两人胜负如何
都是一个4胜5败
一个5胜4败
证毕
仔细看一下你会发现它同时是充分的
因为每个人都保持了对比自己胜率高的人的全败
对比自己胜率低的人的全胜
所以任意五个人
胜率最高的一定全胜其余四人
最低的全负其余四人