设X1与X2分别是实系数方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,X1≠X2,X1≠0,X2≠0求证：方程a/2×x^2+bx+c=0有仅有一根介于X1和X2之间.

Question

设X1与X2分别是实系数方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,X1≠X2,X1≠0,X2≠0求证：方程a/2×x^2+bx+c=0有仅有一根介于X1和X2之间.

Answer 1

若a=0,那么x1=-c/b=-x2,与x1≠x2矛盾,所以a≠0
将x1,x2代入方程得到ax1²+bx1+c=0,-ax2²+bx2+c=0
从而bx1+c=-ax1²,bx2+c=ax2²
构造f(x)=a/2*x²+bx+c,
那么f(x1)=a/2*x1²+bx1+c=a/2*x1²-ax1²=-ax1²/2
f(x2)=ax2²/2+ax2²=3ax2²/2
所以f(x1)*f(x2)=-3a²x1²x2²/40或a0,与f(x1)*f(x2)