已知函数f（x）=ex，（x∈R）．（1）求f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）证明：曲线y=f（x）与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点；（3）设a＜b，比较f（a+b2）与f(b)−f(a)b−a的大小，并说明理由

Question

已知函数f（x）=e^x，（x∈R）．
（1）求f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）证明：曲线y=f（x）与曲线y=(1)/(2)x²+x+1有唯一公共点；
（3）设a＜b，比较f（(a+b)/(2)）与(f(b)−f(a))/(b−a)的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x，则f'（1）=e，f（x）点（1，e）处的切线方程为：y-e=e（x-1），y=ex；
（2）证明：令 h(x)＝f(x)−(1)/(2)x2−x−1＝ex−(1)/(2)x2−x−1，x∈R，则h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，h″（0）=0
因此，当x＜0时，h″（x）＜0，y=h′（x）单调递减；当x＞0时，h″（x）＞0，y=h′（x）单调递增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，所以y=h（x）在R上单调递增，又h（0）=0，即函数h（x）有唯一零点x=0，
所以曲线y=f（x）与曲线y＝(1)/(2)x2+x+1有唯一公共点（0，1）；
（3）设a＜b，
f（(a+b)/(2)）-(f(b)−f(a))/(b−a)=((b−2+a) +(b−2+a)eb−a•ea)/(2(b−a))，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，∴((b−2+a) +(b−2+a)eb−a•ea)/(2(b−a))＞0，
即f（(a+b)/(2)）＞(f(b)−f(a))/(b−a)．