已知函数f（x）=x3-（4a-3）x2+4a（a-1）x（a∈R）．（I）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大、最小值；（II）若函数f（x）在区间（1，2）上不单调，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x³-（4a-3）x²+4a（a-1）x（a∈R）．
（I）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大、最小值；
（II）若函数f（x）在区间（1，2）上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分）
（I）当a=2时，f（x）=x³-5x²+8xf'（x）=3x²-10x+8
令f'（x）=0得3x²-10x+8=0，x₁=上单调递增，在上单调递减
∴
∵f（1）=f（2）=4
∴f（x）_min=4（6分）
（II）f'（x）=3x²-2（4a-3）x+4a（a-1）
若函数f（x）在（1，2）上不单调，则方程f'（x）=0在（1，2）上有实根，且无重根（8分）
由f'（x）=3x²-2（4a-3）x+4a（a-1）=0
解得
则或（10分）
解得（12分）