定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的

Question

定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；
②“(1)/(2)-伴随函数”至少有一个零点；
③f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”；
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．0个

Answer 1

①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”，故①不正确；
②令x=0，得f（(1)/(2)）+(1)/(2)f（0）=0，所以f（(1)/(2)）=-(1)/(2)f（0）
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（(1)/(2)）•f（0）=-(1)/(2)（f（0））²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，(1)/(2)）上必有实数根．因此任意的“(1)/(2)-伴随函数”必有根，即任意“(1)/(2)-伴随函数”至少有一个零点，故②正确；
③用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-伴随函数”，故③不正确；
故正确结论的个数1个，
故选：A