某著名景区新近开发一种旅游纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向地方税务部门上交3元的税收．设每件纪念品的售价为x元（30≤x≤40），根据市场调查，日销售量与ex

Question

某著名景区新近开发一种旅游纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向地方税务部门上交3元的税收．设每件纪念品的售价为x元（30≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件纪念品的售价为40元时，销售量为10件．
（1）求该景区的日利润L（x）元与每件纪念品的售价x元的函数关系式；
（2）当每件纪念品的售价为多少元时，该景区的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

（1）设日销售量为(k)/(ex)
∵每件纪念品的售价为40元时，销售量为10件，
∴(k)/(e40)＝10，∴k=10e⁴⁰，则日售量为(10e40)/(ex) 件
∴日利润L（x）=（x-30-3）(10e40)/(ex)=（x-33）(10e40)/(ex)（30≤x≤40），
（2）求导函数，可得L′（x）=(10e40)/(ex)（34-x）
令L′（x）＞0，可得30≤x＜34；令L′（x）＜0，可得34＜x≤40
∴函数在[30，34）上，函数单调增，在（34，40]上，函数单调减
∴x=34时，L（x）取极大值，且为最大值，最大值为10e⁶．