设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”：x1⊕x2=（x1+x2）2，定义运算“⊗”：x1⊗x2=（x1-x2）2；对于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义d(AB)＝y1⊗y2．（1）若x≥0，求动点P（x，(x⊕a)−(x⊗a)）

Question

设x₁、x₂∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”：x₁⊕x₂=（x₁+x₂）²，定义运算“⊗”：x₁⊗x₂=（x₁-x₂）²；对于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义d(AB)＝√(y1⊗y2)．
（1）若x≥0，求动点P（x，√((x⊕a)−(x⊗a))） 的轨迹C；
（2）已知直线l1 ： y＝(1)/(2)x+1与（1）中轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，若√((x1⊗x2)+(y1⊗y2))＝8√(15)，试求a的值；
（3）在（2）中条件下，若直线l₂不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且与（1）中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求(|d(ST)|)/(|d(SP)|)+(|d(ST)|)/(|d(SQ)|)的取值范围．

Answer 1

（1）设y＝√((x⊕a)−(x⊗a))，
则y²=（x⊕a）-（x⊗a）=（x+a）²-（x-a）²=4ax，
又由y＝√((x⊕a)−(x⊗a))≥0，
可得P（x，√((x⊕a)−(x⊗a))） 的轨迹方程为y²=4ax（y≥0），轨迹C为顶点在原点，焦点为（a，0）的抛物线在x轴上及第一象限的内的部分；
（2）由已知可得

y2＝4ax

y＝(1)/(2)x+1

，整理得x²+（4-16a）x+4=0，
由△=（4-16a）²-16=16²a²-8×16a≥0，得a≥(1)/(2)或a≤0．
∵a＞0，∴a≥(1)/(2)．
∴√((x1⊗x2)+(y1⊗y2))＝√((x1−x2)2+(y1−y2)2)＝√((x1−x2)2+((x1−x2)/(2))2)=(√(5))/(2)√((x1+x2)2−4x1x2)＝(√(5))/(2)√((4−16a)2−16)＝8√(15)，
解得a=2或a＝−(1)/(2)（舍）．
（3）∵d(AB)＝√(y1⊗y2)＝|y1−y2|，
∴(|d(ST)|)/(|d(SP)|)+(|d(ST)|)/(|d(SQ)|)＝(|ST|)/(|SP|)+(|ST|)/(|SQ|)
设直线l₂：x=my+c，
依题意m≠0，c≠0，则T（c，0）
分别过P、Q作PP₁⊥y轴，QQ₁⊥y轴，垂足分别为P₁、Q₁，
则(|ST|)/(|SP|)+(|ST|)/(|SQ|)=(|OT|)/(|PP1|)+(|OT|)/(|QQ1|)＝(|c|)/(|xP|)+(|c|)/(|xQ|)．
由

y2＝8x

x＝my+c

消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0．
∴(|ST|)/(|SP|)+(|ST|)/(|SQ|)＝|c|((1)/(|xP|)+(1)/(|xQ|))≥2|c|√((1)/(xPxQ))＝2|c|√((1)/(c2))＝2．
∵x_P、x_Q取不相等的正数，∴取等的条件不成立，
∴(|d(ST)|)/(|d(SP)|)+(|d(ST)|)/(|d(SQ)|)的取值范围是（2，+∞）．