要造一圆柱形仓库,体积为50平方米,问底半径r和高h等于多少时用料最小

Question

要造一圆柱形仓库,体积为50平方米,问底半径r和高h等于多少时用料最小

Answer 1

假设仓库的底面半径是R、高是H
1、仓库体积是：V=πR^2*H,所以 H=V/(πR^2)
2、仓库有地作为底,所以其表面积等于一个底 加上 侧面积：
S = πR^2 + 2πR*H
= πR^2 + 2πR*【V/(πR^2)】
= πR^2 + 2V/R
3、对S求导,得到其增长率,并令其等于0
S‘ = 2πR - 2V/R^2 = 0
所以 πR^3 = V
即 （πR^2 ）* R= V
所以,当R=H 时,有最小表面积,用料也就最少
此时 R = H = (50/π)^(1/3) ≈ 2.52 米