某蔬菜基地种植番茄，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，番茄市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；番茄的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表

Question

某蔬菜基地种植番茄，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，番茄市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；番茄的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示.

（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式 P ＝ f （ t ）；图2表示的种植成本与时间的函数关系式 Q ＝ g （ t ）；
（2）市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的番茄纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元／10 ² ，ｋ g ，时间单位：天）

Answer 1

（1） f （ t ）＝  g （ t ）＝ （ t －150） ² ＋100，0≤ t ≤300．
（2）从二月一日开始的第50天时，上市的番茄纯收益最大.

⑴由图1可得市场售价与时间的函数关系为：
f （ t ）＝
由图2可得种植成本与时间的函数关系为：
g （ t ）＝ （ t －150） ² ＋100，0≤ t ≤300．
⑵设 t 时刻的纯收益为 h （ t ），由题意得 h （ t ）＝ f （ t ）－ g （ t ），
即 h （ t ）＝
当0≤ t ≤200时，整理得 h （ t ）＝－ （ t －50） ² ＋100，
所以，当 t ＝50时， h （ t ）取得区间［0，200］上的最大值100；
当200＜ t ≤300时，整理得， h （ t ）＝－ （ t －350） ² ＋100，
所以，当 t ＝300时， h （ t ）取得区间（200，300）上的最大值87.5.
综上，由100＞87．5可知， h （ t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时 t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的番茄纯收益最大.