求一道数学题生物科学实验室的一个瓶子里有两种未知生物,生物甲1只和生物乙20只.在一分钟内,每只生物甲吃掉一个生物乙,紧接着每个生物甲和生物乙分别分裂成2个.那么瓶子里的生物乙全

Question

求一道数学题
生物科学实验室的一个瓶子里有两种未知生物,生物甲1只和生物乙20只.在一分钟内,每只生物甲吃掉一个生物乙,紧接着每个生物甲和生物乙分别分裂成2个.那么瓶子里的生物乙全部被吃掉需要多少分钟?

Answer 1

设第n分钟后有生物甲An只,生物乙Bn只,两种生物分别构成一个数列{An}、{Bn}.
根据题干信息有：An=A0*2^n=1*2^n=2^n,Bn=[B(n-1)-A(n-1)]*2 (n∈N)
讲An带入Bn中消去A(n-1)后化简有Bn-2B(n-1)=-2^n (n∈N)
上式迭代相加有Bn-2^nB0=-(2^n+2^n+…+2^n)
因为B0=20,所以求得：Bn=2^n(20-n) (n∈N)
当生物乙全被吃掉时,即Bn=0时,此时2^n(20-n)=0,解得n=20
故瓶子里的生物乙全部被吃掉需要20分钟.