在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径R=0.10m、焦距f=0.50m的薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可以在黑色圆盘上形成太阳的

Question

在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径R=0.10m、焦距f=0.50m的薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合），于是可以在黑色圆盘上形成太阳的像．已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍．圆盘的导热性极好，圆盘与地面之间的距离较大．设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩-玻尔兹曼定律：在单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为W=σT⁴，式中σ为斯特藩-玻尔兹曼常量，T为辐射体表面的绝对温度．对太而言，取其温度t s＝5.50×1030C．大气对太阳能的吸收率为α=0.40．又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩-玻尔兹曼定律向外辐射能量．如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？

Answer 1

根据斯特藩-玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位单位面积向外发射的能量为：
W_s=δ

T

4 s

          ①
其中δ为斯特藩-玻尔兹曼常量，T_s为太阳表面的绝对温度；若太阳的半径为R_s，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为：
Ps＝4π

R

2 s

Ws      ②
单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是P_s，设太阳到地球的距离为r_s，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R的透镜接受到的太阳辐射的能量为：
P=πR2(1−α)(Ps)/(4πr2s)  ③
薄透镜将把这些能量汇聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收；
另一方面，由于薄圆盘也向外辐射能量，设圆盘的半径为R_D，温度为T_D，注意到薄圆盘有两个表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为：
P_D=2π

R

2 D

•δ

T

2 D

       ④
显然，当
 P_D=P           ⑤
即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高，由①②③④⑤各式得到：
TD＝[(1−α)(R2R2s)/(2r2sR2D)](1)/(4)Ts  ⑥
根据题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径的2倍，即RD＝2

R

′ s

；
由透镜成像公式，有：
(R′s)/(f)＝(Rs)/(rs)            ⑦
固有：
RD＝2(Rs)/(rs)f          ⑧
将⑧式代入⑥式，有：
TD＝[(1−α)(R2)/(8f2)](1)/(4)Ts
代入数据，注意T_s=（273.15+t_s）K，有：
T_D=1.4×10³K
即有：
t_D=T_D-273.15=1.1×10³°C
答：薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为1.1×10³摄氏度．