请朋友老师来帮助讲解一道《高等代数》的欧氏空间的数学题!请朋友来帮助我解决分析一道《高等代数》的欧氏空间的数学题!有一例题我不明白,原例题是例2：考虑定义在闭区间[0,2∏]上一

Question

请朋友老师来帮助讲解一道《高等代数》的欧氏空间的数学题!
请朋友来帮助我解决分析一道《高等代数》的欧氏空间的数学题!
有一例题我不明白,原例题是例2：考虑定义在闭区间[0,2∏]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2∏](参看上节例题3).函数组1,COSX,SINX,COX2X,SIN2X,.,COSNX,SINNX,.构成C[0,2∏]的一个正交组.
我的分析:因为同一个向量空间可以引进不同的内积定义,使它作成欧氏空间.同一个向量空间对于不同的内积所作成的欧氏空间认为是不同的.所以我认为本例题应该首先给出此题欧氏空间的内积定义的具体模型.在本例题中,是否本例题的内积定义依靠（参看上节例题3)这句话?我就是对（参看上节例题3)的作用不明白,它的作用就是给于本例题的具体内积吗?如有具体的内积定义,只要先证每个函数都不是零函数.再证这些函数两两正交就可以证明,这我明白.
备注：上节例题3：令C[A,B]是定义在[A,B]上的一切连续实函数所成的向量空间.设F（X）,G（X）属于C[A,B],我们规定〈F,G〉={积分符号,积分下限是A,积分上限是B}F（X）G（X）dx.因此,〈F,G〉是F（X）与G（X）的内积,C[A,B]对于这个内积作成一个欧氏空间.

Answer 1

楼主,你首先要搞清楚,前一节的例3是为了给出“定义在[A,B]上的一切连续实函数所成的向量空间是欧式空间”这一结论,即满足[A,B]上的一切连续实函数所成的向量空间是欧式空间.那么本题中定义在闭区间[0,2π]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2π]必然是一个欧式空间,因为这里的闭区间[0,2π]就相当于例3中的[A,B],例3对于本例的作用到此为止.再往下看,编者给出的1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,.,cosnx,sinnx.（注意,这个函数组是编者随意取的,我还可以取闭区间[0,2π]上的切比雪夫多项式,它也满足本例题）这一族函数显然满足是在[A,B]上的一切连续实函数,那么最后在按照你的分析,只要先证每个函数都不是零函数,再证这些函数两两正交.所以,它的作用并不是给于本例题的具体内积表示,只是本题中的对象是笔者随意取的,因为定义在闭区间[0,2π]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2π]这样的函数组可以取无穷多个.所以楼主应该注意例题间的前后关系呀.
注：切比雪夫多项式是数值分析中正交函数逼近中常取的函数族.